1. Introduction aux puissances
Une puissance est une manière de simplifier et d’écrire plusieurs multiplications d’un même nombre. Par exemple, \( 2 \times 2 \times 2 \) peut être écrit sous la forme \( 2^3 \). Cette notation se lit : « deux puissance trois » ou « deux élevé à la puissance trois ».
Notation :
\( a^n \) représente le nombre \( a \) multiplié par lui-même \( n \) fois.
Dans cette notation :
- a est la base
- n est l’exposant ou la puissance
Exemple :
\( 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \)
Cela signifie que \( 2 \) est multiplié par lui-même trois fois.
2. Les règles de calcul des puissances
Règle 1 : Puissance d’un produit
Si nous avons un produit de deux nombres élevés à une puissance, on peut appliquer la puissance à chaque facteur :
\( (a \times b)^n = a^n \times b^n \)
Exemple :
\( (2 \times 3)^2 = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36 \)
Règle 2 : Puissance d’un quotient
Si nous avons un quotient de deux nombres élevés à une puissance, la puissance s’applique à chaque terme du quotient :
\( \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} \)
Exemple :
\( \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} \)
Règle 3 : Puissance d’une puissance
Si un nombre élevé à une puissance est lui-même élevé à une autre puissance, on multiplie les exposants :
\( (a^m)^n = a^{m \times n} \)
Exemple :
\( (2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64 \)
Règle 4 : Puissance de zéro
N’importe quel nombre élevé à la puissance 0 donne toujours 1 (sauf \( 0^0 \) qui est indéfini) :
\( a^0 = 1, \quad a \neq 0 \)
Exemple :
\( 5^0 = 1 \)
Règle 5 : Puissance de 1
N’importe quel nombre élevé à la puissance 1 est égal à ce nombre lui-même :
\( a^1 = a \)
Exemple :
\( 7^1 = 7 \)
3. Exemples et exercices pratiques
Exemple 1 : Calculer \( 3^4 \)
\( 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81 \)
Exemple 2 : Simplifier \( (2^2)^3 \)
\( (2^2)^3 = 2^{2 \times 3} = 2^6 = 64 \)
4. Exercices
- Calculer \( 4^3 \)
- Simplifier \( (5 \times 2)^2 \)
- Calculer \( \left( \frac{3}{4} \right)^2 \)
- Simplifier \( 2^4 \times 2^3 \)
- Calculer \( 10^0 \)